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Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno

  1. Do eixo x .
  2. Do eixo y .

Passo 1

O nosso sólido, independentemente do eixo coordenado em que ele será rotacionado, configurará um cone. É por isto que a questão nos pede para resolver por integração. Ela está nos testando! Para obtermos o volume, precisamos esboçar a região limitada, para identificar se utilizaremos o método dos discos ou dos anéis. Identificado o método e identificado os limites de integração (basta responder uma simples pergunta: qual o valor mínimo e máximo de x ou y na sua região?), só nos resta a parte mais fácil: integrar!!

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Como o eixo y está sob a aresta do triângulo, vamos utilizar o método dos discos. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ c d A y d y = ∫ c d π R y 2   d y

Em que R y é a função que define o raio externo da nossa figura. Ela é a reta que liga os pontos B = 0 , h e C = b , 0 . Desta forma, a equação da reta é:

y - y 0 = m x - x 0

y - h = h - 0 0 - b x - 0

y - h = - h b x

x = - b h ( y - h )

x = - b h y + b

Portanto, R y = - b h y + b .

Passo 3

Agora que obtemos a curva, só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de x na nossa região? Eles são 0 e h, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 h π - b h y + b 2 d y

V = ∫ 0 h π b 2 h 2 y 2 - 2 b 2 h y + b 2 2 d y

V = π b 2 3 h 2 y 3 - b 2 h y 2 + b 2 y 0 h = π b 2 h 3 - b 2 h + b 2 h

V = π b 2 h 3

Resposta

V = π b 2 h 3

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