Enunciado

35. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelo laço da curva cuja equação é x 2 y 2 = x 2 - 9 1 - x 2 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos esboçar essa curva rotacionada em relação ao eixo x.

Há dois sólidos gerados semelhantes, escolheremos o da direita para calcular o volume.

X varia de 1 a 3

Lembrando que a fórmula do volume é dada por

∫ a b π f x 2 d x

Passo 2

A integral ficará assim:

V = ∫ 1 3 π ⋅ x 2 - 9 ( 1 - x 2 x 2 d x

Lembrando que x está variando de -1/2 a 1, por isso que esses são os limites da integral.

∫ 1 3 π ⋅ ( - x 2 + 10 - 9 x - 2 ) d x

= π 1 3 x 3 + 10 x + 9 x - 1   | 1 3

Substituindo,

π - 1 3 3 3 + 10 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3 - 1 -   π - 1 3 1 3 + 10 ⋅ 1 + 9 1 - 1  

π - 9 + 30 + 3 -   π - 1 3 + 10 + 9 = 16 3 π  

Resposta

V = 16 3 π  

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