Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   1 ] , y varia de x - x 2 a 2 x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   x - x 2 ≤ y ≤ 2 x

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = y 2 2

E, como a outra resulta em uma função do segundo grau, devem ser determinadas as raízes do função:

x 2 - x + y 2 = 0 → x = 1 ± 1 - 4 y 2 2

Assim, reorganizando as variáveis no esboço:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ 0 1 ∫ x - x 2 2 x f x ,   y d y d x = ∫ 0 1 / 2 ∫ y 2 / 2   1 - 1 - 4 y 2 / 2 f x ,   y d x d y

+ ∫ 0 1 / 2 ∫ 1 + 1 - 4 y 2 / 2 1 f x ,   y d x d y + ∫ 1 / 2 2 ∫ y 2 / 2 1 f x ,   y d x d y

Resposta

∫ 0 1 / 2 ∫ y 2 / 2   1 - 1 - 4 y 2 / 2 f x ,   y d x d y

+ ∫ 0 1 / 2 ∫ 1 + 1 - 4 y 2 / 2 1 f x ,   y d x d y + ∫ 1 / 2 2 ∫ y 2 / 2 1 f x ,   y d x d y

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