Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a π / 4 , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   π / 4 ] , y varia de 0 a t g x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ π / 4 ,   0 ≤ y ≤ t g x

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = t g - 1 y

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 t g x f x ,   y d y d x = ∫ 0 1 ∫ t g - 1 y π / 4 f x ,   y d x d y

Resposta

∫ 0 1 ∫ t g - 1 y π / 4 f x ,   y d x d y

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