Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de - 1 a 1 , para cada valor de x fixo em [ - 1 ,   1 ] , y varia de - 1 - x 2 a 1 - x 2 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   | -   1 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Pode-se observar que a região é uma circunferência de raio r = 1 dado pela equação:

x 2 + y 2 ≤ 1

Que, reescrevendo e deixando x em função de y , resulta em:

x ≤ 1 - y 2

Passo 3

Portanto, como as equações das retas y = ± 1 - x 2 podem ser reescritas como x = ± 1 - y 2 , invertendo a ordem de integração temos:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 f x ,   y d y d x = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 f x ,   y d x d y

Resposta

∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 f x ,   y d x d y

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