Enunciado

As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentam interseção. Em seguida, encontre a área da região.

∫ 0 3 ∫ - x x 2 - x d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Nos exercícios anteriores tínhamos definido a integral pela função, agora de maneira contraria vamos encontrar a função pela integral. Sendo assim, nós temos que a função que limita os pontos é dado por y, veja que y = - x e y = x ( 2 - x ) . Se fizermos um esboço dessas funções temos:

Onde temos, como mostrado na integral x indo de 0 a 3.

Passo 2

Para acharmos os pontos de interseção, basta igualarmos as equações. Assim:

- x = 2 x - x 2

- x 2 + 3 x = 0

x = - 3 ± 3 2 + 4 × 1 × 0 - 2

x 1 = 0

x 2 = 3

Onde comprovamos que os pontos de interseção coincidem com os fornecidos pela imagem.

Passo 3

∫ 0 3 ∫ - x x 2 - x d y   d x

∫ 0 3 2 x - x 2 + x d x

- 1 3 x 3 + 3 2 x 2 0 3

- 3 2 + 3 3 2 - 0

3 2 - 1 + 3 2

3 2 1 2

9 2

Resposta

Os pontos de interseção são:

x 1 = 0

x 2 = 3

Valor da integral:

9 2

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe um exemplo de uma região que seja Do tipo I, mas não do tipo IIDo tipo II, mas não do tipo I
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 2 ∫ x 2 4 f x , y d y d x
Desenhe um exemplo de uma região que seja Do tipo I, mas não do tipo IIDo tipo II, mas não do tipo I
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A D é o disco com centro na origem e raio R.
Desenhe um exemplo de uma região que seja Tanto do tipo I quanto do tipo II;Nem do tipo I nem do tipo II.