Responde Aí

Enunciado

Encontre o valor médio de ƒ(x, y) = s e n   ( x   +   y ) sobre:

  1. o retângulo 0   ≤   x   ≤ π ,   0   ≤   y   ≤ π

b) o retângulo 0   ≤   x   ≤ π ,   0   ≤   y   ≤ π 2 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos a integral:

∫ a b f x d x

O valor médio nos diz que:

1 b - a ∫ a b f x d x

Logo

1 b - a ∫ a b f x d x       é   v a l o r   m é d i o   d e   ∫ a b f x d x

Passo 2

Dito isso:

1 π - 0 ∫ 0 π 1 π - 0 ∫ 0 π s e n x + y   d y   d x

1 π 2 ∫ 0 π - cos ⁡ x + y 0 π   d x

1 π 2 ∫ 0 π - cos ⁡ x + π + cos ⁡ x   d x

1 π 2 [ - s e n x + π + s e n ( x ) )   0 π  

1 π 2 0 + 0 = 0

Passo 3

Para b:

1 π ∫ 0 π 1 π 2 ∫ 0 π 2 s e n x + y d y   d x

1 π 2 2 ∫ 0 π - cos ⁡ x + y 0 π 2 d x

1 π 2 2 ∫ 0 π - cos ⁡ x + π 2 + cos ⁡ x d x

1 π 2 2 - s e n x + π 2 + s e n x 0 π

1 π 2 2 - s e n π + π 2 + s e n π - - s e n π 2 + s e n 0  

1 π 2 2 ( 1 + 0 - - 1

1 π 2 2 2

4 π 2

Resposta

a = 0

b = 4 π 2