Enunciado

Para m e n inteiros positivos, mostre que a fórmula dada é verdadeira.

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0  

Passo 1

Essa daqui vai ser rápida, pessoal. Vamos começar fazendo a substituição x = - u na integral:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x

Devemos perceber que d x = - d u é uma expressão que aparece na integral e antes de trocar a variável da integral, vamos ver os limites de integração nessa nova variável u .

u = - x   →       x s = 1       →         u s = - 1 x i = - 1       →         u i = - - 1 = 1

Pronto! Agora já podemos trocar a variável.

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = ∫ 1 - 1 cos ⁡ n π ( - u ) sen ⁡ ( m π ( - u ) ) ( - d u )

= - ∫ 1 - 1 cos ⁡ ( - n π u ) sen ⁡ ( - m π u ) d u

Passo 2

Agora vamos lembrar que cos ⁡ ( - n π u ) = cos ⁡ ( n π u ) e sen ⁡ - m π u = - s e n ⁡ ( m π u ) . Substituíndo na integral, ficamos com:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = - ∫ 1 - 1 cos ⁡ n π u - sen ⁡ m π u d u

= ∫ 1 - 1 cos ⁡ n π u sen ⁡ m π u d u = - ∫ - 1 1 cos ⁡ n π u sen ⁡ m π u d u

Acima foi usada a propriedade:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

Passo 3

Agora devemos perceber que:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π u sen ⁡ m π u d u = ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ m π x d x

A letrinha que usamos não altera o valor da integral definida, ok? Então eu posso escrever o seguinte:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = - ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ m π x d x

Jogando essa expressão para o lado esquerdo, ficamos com:

2 ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0 2 = 0

E está demonstrado que a fórmula é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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