Enunciado

Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.

Passo 1

A ideia aqui é estimar o centroide dessa placa pensando na simetria dela e depois usar nossa fórmulinha para confirmar:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Nossa placa é um losango. Ele é simétrico tanto vertical quanto horizontalmente. Isso significa que o centroide vai fazer bem no meio.

Como o centro dele está bem na origem:

x - , y - = 0,0

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo x nossa região está entre - 1 e 1 , mas para [ - 1,0 ] , no eixo y , nossa região está entre y = f x = 1 + x (por cima) e y = g x = - 1 - x (por baixo). Já para para [ 0 , - 1 ] , no eixo y , nossa região está entre y = f x = 1 - x (por cima) e y = g x = - 1 + x (por baixo). Por isso vamos ter duas integrais, uma para cada intervalo.

Agora vamos pensar na área, se você reparar, nossa região é também um quadrado rotacionado. Para descobrir o lado dele é só a gente usar Pitágoras:

1 2 + 1 2 = l 2

Aí a gente descobre que o lado vale 2 , e a área vale 2 .

Nossa integral fica:

x - = 1 2   ∫ - 1 0 x 1 + x - - 1 - x d x + ∫ 0 1 1 - x - - 1 + x d x

x - = 1 2   ∫ - 1 0 x 2 + 2 x d x + ∫ 0 1 x 2 - 2 x d x

Vai cair numa integral simples de polinômios que dá:

x - = 0

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 1 4   ∫ - 1 0 1 + x 2 - - 1 - x 2 d x + ∫ 0 1 1 - x 2 - - 1 + x 2 d x

Fazendo as distributivas e resolvendo as integrais polinomiais que aparecerem:

y - = 0

Viu? Deu igualzinho!

Resposta

x - , y - = 0,0

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →