Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 3 a , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   3 a ] , y varia de 3 x / 3 a 4 a x - x 2 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 3 a , 3 x 3 ≤ y ≤ 4 a x - x 2

Passo 2

Esboçando esse conjunto (usando o caso particular em que a = 1 ) obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x 2 - 4 a x + y 2 = 0 → x = 4 a ± 16 a 2 - 4 y 2 2

x = 2 a ± 4 a 2 - y 2

E

x = 3 y

Assim, reorganizando as variáveis no esboço:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ 0 3 a ∫ 3 x 3 4 a x - x 2 f x ,   y d y d x =

= ∫ 0 3 a ∫ 2 a - 4 a 2 - y 2   3 y f x ,   y d x d y + ∫ 3 a 2 a ∫ 2 a - 4 a 2 - y 2   2 a + 4 a 2 - y 2 f x ,   y d x d y

Resposta

∫ 0 3 a ∫ 2 a - 4 a 2 - y 2   3 y f x ,   y d x d y + ∫ 3 a 2 a ∫ 2 a - 4 a 2 - y 2   2 a + 4 a 2 - y 2 f x ,   y d x d y

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