Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que y varia de 0 a 1 , para cada valor de y fixo em [ 0 ,   1 ] , x varia de e y - 1 a e y . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ y ≤ 1 ,   e y - 1 ≤ x ≤ e y

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando y em função de x , resulta em duas retas:

y = ln ⁡ x + 1

E

y = ln ⁡ x

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ 0 1 ∫ e y - 1 e y f x ,   y d x d y = ∫ 1 / e 1 ∫ 0 1 + ln ⁡ x f x ,   y d y d x + ∫ 1 e ∫ ln ⁡ x 1 f x ,   y d y d x

Resposta

∫ 1 / e 1 ∫ 0 1 + ln ⁡ x f x ,   y d y d x + ∫ 1 e ∫ ln ⁡ x 1 f x ,   y d y d x

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