Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a π , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   π ] , y varia de 0 a s e n x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ π ,   0 ≤ y ≤ s e n x

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = s e n - 1 y

No entanto, essa equação representa apenas metade da curva original. Logo, a outra metade é dada por:

x = π - s e n - 1 y

E o esboço, com as variáveis reorganizadas:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ 0 π ∫ 0 s e n x f x ,   y d y d x = ∫ 0 1 ∫ s e n - 1 y   π - s e n - 1 y f x ,   y d x d y

Resposta

∫ 0 1 ∫ s e n - 1 y   π - s e n - 1 y f x ,   y d x d y

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