Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que y varia de - 1 a 2 , para cada valor de y fixo em [ - 1 ,   2 ] , x varia de 7 + 5 y 2 3 a y + 7 3 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   | - 1 ≤ y ≤ 2 ,   7 + 5 y 2 3 ≤ x ≤ y + 7 3

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando y em função de x , resulta em duas retas:

y = ± 3 x 2 - 7 5

E

y = 3 x - 7

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ - 1 2 ∫ 7 + 5 y 2 / 3 y + 7 / 3 f x ,   y d x d y =

= ∫ 7 / 3 2 ∫ - 3 x 2 - 7 / 5 3 x 2 - 7 / 5 f x ,   y d y d x + ∫ 2 3 ∫ 3 x - 7 3 x 2 - 7 / 5 f x ,   y d y d x

Resposta

∫ 7 / 3 2 ∫ - 3 x 2 - 7 / 5 3 x 2 - 7 / 5 f x ,   y d y d x + ∫ 2 3 ∫ 3 x - 7 3 x 2 - 7 / 5 f x ,   y d y d x

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