Enunciado

Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.

Passo 1

Através da integral dupla, tem-se que a área de um conjunto é dada por:

A = ∫ ∫ B d x d y

Ou:

A = ∫ a b ∫ c y d y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado pela inequação ln ⁡ x ≤ y ≤ 1 + ln ⁡ x . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

1 e ≤ x ≤ 1

Tal que o valor de y será determinado nesta parte por:

0 ≤ y ≤ 1 + ln ⁡ x

E:

1 ≤ x ≤ e

E, para determinar o valor de y neste caso:

ln ⁡ x ≤ y ≤ 1 + ln ⁡ x

Passo 2

Logo, a área será dada por:

A = ∫ 1 / e 1 ∫ 0 1 + ln ⁡ x d y d x + ∫ 1 e ∫ ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

A = ∫ 1 / e 1 y | y = 1 + ln ⁡ x y = 0 d x + ∫ 1 e y | y = 1 + ln ⁡ x y = ln ⁡ x d x

Substituindo o intervalo de integração:

A = ∫ 1 / e 1 1 + ln ⁡ x d x + ∫ 1 e 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ x d x

A = ∫ 1 / e 1 1 d x + ∫ 1 / e 1 ln ⁡ x d x + ∫ 1 e 1 d x

Sabendo que ∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ ( x ) - x :

A = 1 - 1 e + 1 ln ⁡ 1 - 1 - 1 e ln ⁡ 1 e + 1 e + e - 1

A = 1 - 1 e + - 1 - 1 e ln ⁡ 1 e + 1 e + e - 1

A = 1 - 1 e + - 1 - 1 e ln ⁡ 1 e + 1 + e - 1

A = 1 - 1 e + - 1 - 1 e ln ⁡ 1 - ln ⁡ e + 1 + e - 1

A = 1 - 1 e + - 1 - 1 e - 1 + 1 + e - 1

A = 1 - 1 e + - 1 + e - 1

A = - 1 e + e - 1

Prontinho!

Resposta

A = - 1 e + e - 1

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