Enunciado

Em uma investigação de assassinato, a temperatura do corpo era 32,5 ºC às 13h30 e 30,3 ºC uma hora depois. A temperatura normal do corpo é 37,0 ºC, e a temperatura do ambiente era 20 ºC. Quando o assassinato aconteceu?

Passo 1

Vamos coniderar a temperatura do corpo as 13h30 como T 0 = 32,5   º C e as 14h30 como T 1 = 30,3   º C .

A lei de resfriamento de Newton é: d T d t = k ( T - T s ) , onde k é uma constante, T é a temperatura do corpo no instante t e T s é a temperatura do ambiente.

Chamando T - T s = y , a lei de resfriamento de Newton fica: d T d t = k y , mas d T d t = d y d t , então d y d t = k y .

A única solução para essa equação diferencial é: y t = y ( 0 ) e k t

Passo 2

Primeiramente precisamos encontrar o valor de k:

y 0 = T 0 - T s = 32,5 - 20 = 12,5   º C

y 1 = T 1 - T s = 30,3 - 20 = 10,3   º C

Usando a relação y t = y ( 0 ) e k t :

y 1 = 10,3 = 12,5 ∙ e 1   ∙   k

10,3 12,5 = 0,824 = e k

Aplicando logaritimo em ambos os lados:

ln ⁡ 0,824 = l n ⁡ ( e k )

k = l n 0,824 = - 0,19

Passo 3

A temperatura normal do corpo é 37 ºC, então y t m , onde t m é o tempo da morte, é:

y t m = T - T s = 37 - 20 = 17   º C

y t m = 17 = 12,5 ∙ e - 0,19 t

17 12,5 = 1,36 = e - 0,19 t

Aplicando logaritimo de ambos os lados:

ln ⁡ 1,36 = l n ⁡ ( e - 0,19 t )

ln ⁡ 1,36 = - 0,19 t

t = ln ⁡ 1,36 - 0,19 = - 1,588 h

O sinal negativo indica que a hora da morte ocorreu a 1,588   h (ou 95 min) antes de T ( 0 ) , então se T 0 ocorreu as 13h30, então o assassinato aconteceu as 11h55.

Resposta

A hora do assassinato é 11h45.

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