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Enunciado

Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Para os casos em que o intervalo de integração vai de - x a + x , deve-se dividir a integral original em duas integrais intermediárias separadas no valor em que a função não existe. Assim, ela resultará em:

I = ∫ - 1 1 d x x 2 = ∫ - 1 0 d x x 2 + ∫ 0 1 d x x 2

E, como a função é indefinida em zero, tem-se:

I = lim a → 0 - ⁡ ∫ - 1 a d x x 2 + l i m b → 0 + ∫ b 1 d x x 2

Resolvendo a integral diretamente, obtém-se:

∫ d x x 2 = - 1 x

Retornando à variável original:

I = lim a → 0 - ⁡ - 1 x | a - 1 + l i m b → 0 + - 1 x | 1 b

Substituindo os limites de integração:

I = - lim a → 0 - ⁡ 1 a - 1 - 1 - l i m b → 0 + 1 1 - 1 b

I = - - ∞ + 1 - 1 - ∞ = + ∞

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite não existe e, logo, a integral é divergente.

Resposta

∫ - 1 1 d x x 2 = + ∞

A integral é divergente.

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