Investigar as integrais impróprias seguintes.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

∫ 1 ∞ l n x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t l n x d x

Aplicando o método da integração por partes, podemos dizer que u = l n x e d v = d x , tal que d u = 1 x d x e v = x . Então, como o método é definido por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

A integral se dará por:

lim t → ∞ ⁡ l n x x - ∫ 1 t x 1 x d x = lim t → ∞ ⁡ x l n x - x | t 1

Substituindo os limites de integração:

l i m t → ∞ t l n t - t - ( 1 l n 1 - 1 ) = ∞ + 1 = ∞

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite não existe e, logo, a integral é divergente.

Resposta

∫ 1 ∞ l n x d x = ∞

A integral é divergente.

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