Enunciado

Investigar as integrais impróprias seguintes.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

int_(- oo)^0 e^x d x = underset(t -> - oo)(lim) int_t^0 e^x d x = underset(t -> - oo)(l i m) e^x | [[0],[t]]

Substituindo os limites de integração:

underset(t -> - oo)(l i m) (e^0 - e^t) = 1

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

int_(- oo)^0 e^x d x = 1

A integral é convergente.

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Mostrar que int_1^(oo) (d x)/(sqrt(x)) É divergente.
Encontrar a área sob a curva y = e^(- x) , x = 0 .
Em cada parte, determine todos os valores de p com os quais a integral é imprópria. ∫ 0 1 d x x p
Calcule as integrais que convirjam.int_0^4 (d x)/(sqrt(4 - x))
Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, se for, explique por quê. ∫ 0 1 ln ⁡ x d x