Enunciado

Investigue, com o auxílio de uma ferramenta gráfica, a família de curvas definidas pelas equações paramétricas

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ c t

c > 0

Comece tomando c como um inteiro positivo e veja o que acontece com a forma à medida que c cresce. A seguir, explore algumas das possibilidades que ocorrem quando c é uma fração.

Passo 1

Bom, vamos jogar uns valores pra c e plotar as curvas que saírem disso com a ajuda do winplot.

Primeiro vamos fazer só valores inteiros e maiores que zero pra c .

Começando com c = 1 :

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ t = 0

Ficamos com uma reta y = 0 com - 1 ≤ x ≤ 1 :

Agora c = 2 :

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ 2 t

E ai o negócio já deu uma enrolada doida:

Agora c = 3 :

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ 3 t

Enrolou duas vezes agora:

E c = 4 :

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ 4 t

Enrolou mais uma vez, fazendo uma bolinha pequena ali no meio:

Vamos testar c = 5 :

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t

Enrolou mais uma vez:

Acho que já mais do que deu pra perceber que conforme c aumenta, sendo c > 0 e inteiro, nossa curva oscila (ou enrola) mais.

Passo 2

Agora vamos testar valores para c de modo que seja uma fração, mas ainda maiores do que zero.

Por exemplo, c = 1 4 :

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ 1 4 t

E temos um ovinho:

Agora c = 1 2 :

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ 1 2 t

E temos um ovinho um pouco menor:

Agora c = 3 4 :

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ 3 4 t

O ovinho deu um laço:

Agora vamos fazer um c > 1 : c = 3 2

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t - sen ⁡ 3 2 t

E aí fica assim:

Olha, tá me parecendo que para c fracionário nossa curva não tá muito seguindo um padrão não...

Resposta

A medida que c inteiro positivo cresce, o o número de oscilações da curva aumenta. Já a medida que c fracionário varia, a curva não varia num padrão.

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