Enunciado

As curvas com equações

x = a sen ⁡ n t

y = b cos ⁡ t

São chamadas de figuras de Lissajous. Investigue, com o auxílio de uma ferramenta gráfica, como essas curvas mudam quando a , b e n variam. (Tome n como um inteiro positivo).

Passo 1

Vamos fazer o seguinte: como temos que avaliar a influência de 3 coisas no comportamento da nossa curva, vamos primeiro fixar o a e o b e fazer variar o n pra gente estudar primeiro como o n influencia e depois a gente vê o a e o b tá bem?

Pra facilitar nossas vidas, vamos dizer que

a = b = 1

Assim:

x = sen ⁡ n t

y = cos ⁡ t

Show, agora vamos chutar alguns valores pra n e plotar isso.

Como n é um inteiro positivo, vamos começar com n = 1 :

x = sen ⁡ t

y = cos ⁡ t

Temos uma circunferência:

Agora, n = 2 :

x = sen ⁡ 2 t

y = cos ⁡ t

Aí o negócio já dá um doideira e oscila, assim:

Vamos tentar n = 3 :

x = sen ⁡ 3 t

y = cos ⁡ t

Vish maria, ele oscilou mais ainda:

Vamos testar um n maior só pra ter certeza, tipo n = 6 :

x = sen ⁡ 6 t

y = cos ⁡ t

É, realmente, parece que esse negócio do n controla a oscilação....

Passo 2

Show, agora que já descobrimos como n afeta nossa curva, vamos para os parâmetros a e b .

Pra isso, vamos manter nosso n = 1 .

x = a sen ⁡ t

y = b cos ⁡ t

Ora, acho que aí a gente não precisa nem plotar né? Só fazendo n = 1 a gente vê que isso daí é a parametrização de uma elipse. E na parametrização da elipse o a controla o tamanho da nossa curva no eixo horizontal e o b controla o tamanho da curva no eixo vertical.

Maas, como fazer prova real nunca é demais, vamos colocar n = 2 e fazer o a e b variar uma vezinha pra ver se é isso mesmo.

Vamos fazer a = 2 e b = 3 :

x = 2 sen ⁡ 2 t

y = 3 cos ⁡ t

Eu plotei junto com o caso em que a = b = 1 para você ver a diferença:

Tá vendo como a curva agora ta cortando o y em b = 3 e antes ela cortava em b = 1 ?

E tá vendo também como antes, quando a = 1 , ela só ia até a altura de x = ± 1 e agora, quando a = , 2 ela vai até a altura de x = ± 2 ?

Pois é, então parece que estávamos certo desde o princípio.

Resposta

Quando n aumenta, o número de oscilações da curva aumenta e a cdetermina o tamanho da curva no eixo horizontal e o b o tamanho da curva no eixo vertical.

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = s en ⁡ t y = cossec ⁡ t 0tπ
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcas os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta. x = t 2 y = t 3
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = 4 cos ⁡ θ y = 5 sen ⁡ θ - π