Enunciado

Investigue a família de curvas dada por r = 1 + c o s n θ onde n é um inteiro positivo. Como muda o formato quando n aumenta? O que acontece quando n se torna maior? Explique a forma para o n maior considerando o gráfico de r como uma função de θ nas coordenadas cartesianas.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função polar:

r = 1 + c o s n θ

Onde n é um inteiro positivo.

Com uma calculadora gráfica, vamos plotar essa função para alguns valores de n e analisar o que muda no formato do gráfico quando n aumenta.

Por fim, ainda utilizando uma ferramenta matemática, vamos plotar essa função nas coordenadas cartesianas.

Passo 2

Vamos substiruir n na função e observar os valres.

Para   n = 2 , temos:

Para n = 10 , temos:

Para n = 1000 , temos:

Podemos ver que para n pequeno a curva se parece com um amendoin, mas conforme n aumenta seus polos são achatados até se parecer a uma circunferência com dois picos nas laterais.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas, para n = 2 , n = 10 e n = 1000 , o gráfico fica:

Podemos perceber que, para n pequeno, temos curvas cosenoidais que são bem suaves.

Mas quando n fica muito grande as curvas começam a parecer cada vez mais com uma reta e ter um pico central, como podemos ver para n = 1000 , no centro temos aproximadamente uma função y = 1 .

Isso acontece pois conforme n aumenta c o s n θ se torna muito pequeno chegando cada vez mais próximo de zero, então r = 1 + c o s n θ ≈ 1 .

Resposta

Demonstração

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Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = 1 + 2 sen ⁡ ( θ / 2 ) (nefroide de Freeth)
Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = 2 - 5 sen ⁡ ( θ / 6 )
Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = e sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ ( 4 θ ) (curva em borboleta)
Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = sen 2 ⁡ ( 4 θ ) + cos ⁡ ( 4 θ )
Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = 1 - 0,8 sen 2 ⁡ θ (hipopédia)