Enunciado

Investigue a família de curvas dadas por f x = x e - c x , em que c é um número real. Comece calculando os limites quando x → ± ∞ . Identifique qualquer valor intermediário de c onde mude a forma básica. O que acontece aos pontos de máximo, de mínimo e de inflexão quando c varia? Ilustre fazendo o gráfico de vários membros da família.

Passo 1

Se c < 0 , então lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x e c x H = lim x → ∞ ⁡ 1 c e c x = 0 , e lim x → ∞ ⁡ f x = ∞ .

Se c > 0 , então lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞ , e lim x → ∞ ⁡ f x H = lim x → ∞ ⁡ 1 c e c x = 0 .

Se c = 0 , então f x = x , logo, lim x → ± ∞ ⁡ f x = ± ∞ respectivamente.

Passo 2

Assim, nós podemos ver que c = 0 é um valor transitório. Agora, nós excluímos o caso c = 0 , já que nós sabemos como funciona o comportamento nesse caso. Para encontrar um máximo e um mínimo de f , nós derivamos:

f ' x = x - c e - c x + e - c x = 1 - c x e - c x

Temos 0 quando 1 - c x = 0 ↔ x = 1 c . Se c < 0 , então isso representa um valor mínimo de f 1 c = 1 c e , já que f ' ( x ) muda de negativo para positivo em x = 1 / c ; e c > 0 representa um valor máximo. Conforme | c | cresce, o ponto máximo ou mínimo se aproxima da origem.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, nós derivamos novamente:

f ' ' x = e - c x - c + 1 - c x - c e - c x = c x - 2 c e - c x

A derivada troca o sinal quando c x - 2 = 0 ↔ x = 2 / c . Conforme | c | aumenta, os pontos de inflexão ficam perto da origem.

Passo 4

Representando o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas. f ' x0 e f ' ' x0 para todo x .
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O gráfico da derivada f ' de uma função contínua f está ilustrado.(a) Em que intervalos f está crescendo ou decrescendo?(b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?(c) Em que inte
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.(d) Use as inf