Enunciado

Calcule a integral.

int_0^1 (x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) d x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral

int_0^1 (x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, vai ser preciso fatorar o denominador achando as raízes de x :

Usando Bhaskara:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- 3 +- sqrt(3^2 - 4 * 1 * 2))/(2 * 1)

x = (- 3 +- 1)/(2) -> x = {[[- 1],[- 2]])

Assim ficamos com:

(x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) = (x - 1)/((x + 1) (x + 2))

Agora é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

(x - 1)/((x + 1) (x + 2)) = (A)/(x + 1) + (B)/(x + 2)

Veja só!

Passo 2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x + 1) (x + 2) :

x - 1 = A (x + 2) + B (x + 1)

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A (x + 2) + B (x + 1) = A x + 2 A + B x + B

x - 1 = x (A + B) + (2 A + B)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 1 -> A = - B + 1],[2 A + B = - 1]])

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

2 A + B = - 1 -> 2 (- B + 1) + B = - 1

- 2 B + 2 + B = - 1

B = 3

Assim achamos A :

A = - 3 + 1

A = - 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) d x = int - (2)/(x + 1) + (3)/(x + 2) d x = int - (2)/(x + 1) d x + int (3)/(x + 2) d x

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Bora lá!

Passo 3

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (2)/(x + 1) d x = int - (2)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int - (2)/(u) d u = - 2 int (1)/(u) d u

int - (2)/(u) d u = - 2 ln |u| + C

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (3)/(x + 2) d t = int (3)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (3)/(u) d u = 3 int (1)/(u) d u = 3 ln |u| + C

Show?

Passo 5

Juntando temos:

int - (2)/(x + 1) d x + int (3)/(x + 2) d x = - 2 ln |u| + 3 ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int - (2)/(x + 1) d x + int (3)/(x + 2) d x = - 2 ln |x + 1| + 3 ln |x + 2| + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^1 (x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) d x = (- 2 ln |x + 1| + 3 ln |x + 2|)_0^1

Aplicando os limites de integração

int_0^1 (x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) d x = - 2 ln |1 + 1| + 3 ln |1 + 2| - (- 2 ln |0 + 1| + 3 ln |0 + 2|)

int_0^1 (x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) d x = - 2 ln |2| + 3 ln |3| - (- 2 ln |1| + 3 ln |2|) = - 2 ln 2 + 3 ln 3 - 3 ln 2

int_0^1 (x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) d x = - 5 ln 2 + 3 ln 3

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

int_0^1 (x - 1)/(x^2 + 3 x + 2) d x = - 5 ln 2 + 3 ln 3

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