Calcule a integral.

∫ x 2 x 2 - 3 x + 2 d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x 2 = 1 ⋅ x 2 - 3 x + 2 + 3 x - 2 → x 2 x 2 - 3 x + 2 = x 2 - 3 x + 2 x 2 - 3 x + 2 + 3 x - 2 x 2 - 3 x + 2 →

→ x 2 x 2 - 3 x + 2 = 1 + 3 x - 2 x 2 - 3 x + 2

Temos então que a integral fica:

∫ x 2 x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ 1 + 3 x - 2 x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ 1 d x + ∫ 3 x - 2 x 2 - 3 x + 2 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c d x = c x + C

Aplicando:

∫ 1 d x = x + C

Passo 3

Com a segunda vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x 2 - 3 x + 2 = x - 2 x - 1

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

3 x - 2 x 2 - 3 x + 2 = 3 x - 2 x - 2 x - 1 = A x - 2 + B x - 1

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 2 x - 1 :

3 x - 2 = A x - 1 + B x - 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

3 x - 2 = A x - 1 + B x - 2

3 x - 2 = A x - A + B x - 2 B

3 x - 2 = x A + B + - A - 2 B

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 3 - A - 2 B = - 2

Isolando A na primeira:

A = 3 - B

Substituindo A na segunda temos:

- A - 2 B = - 2 → - 3 - B - 2 B = - 2 → - 3 + B - 2 B = - 2 → - B = 1 → B = - 1

Temos então que A :

A = 3 - B = 3 - - 1 = 4

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 3 x - 2 x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ 4 x - 2 + - 1 x - 1 d x = ∫ 4 x - 2 d x + ∫ - 1 x - 1 d x =

= 4 ∫ 1 x - 2 d x - ∫ 1 x - 1 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

4 ∫ 1 x - 2 d x = 4 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

4 ∫ 1 u d u = 4 ln ⁡ u + C

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- ∫ 1 x - 1 d x = - ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- ∫ 1 v d v = - ln ⁡ v + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ x 2 x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ 1 d x + ∫ 3 x - 2 x 2 - 3 x + 2 d x = x + 4 ∫ 1 x - 2 d x - ∫ 1 x - 1 d x =

= x + 4 ln ⁡ u - ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 x 2 - 3 x + 2 d x = x + 4 ln ⁡ u - ln ⁡ v + C = x + 4 ln ⁡ x - 2 - ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ x 2 x 2 - 3 x + 2 d x = x + 4 ln ⁡ x - 2 - ln ⁡ x - 1 + C

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