Enunciado

Calcule a integral.

int (x^2)/(x^2 - 3 x + 2) d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x^2 = 1 * (x^2 - 3 x + 2) + 3 x - 2 -> (x^2)/(x^2 - 3 x + 2) = (x^2 - 3 x + 2)/(x^2 - 3 x + 2) + (3 x - 2)/(x^2 - 3 x + 2) ->

-> (x^2)/(x^2 - 3 x + 2) = 1 + (3 x - 2)/(x^2 - 3 x + 2)

Temos então que a integral fica:

int (x^2)/(x^2 - 3 x + 2) d x = int 1 + (3 x - 2)/(x^2 - 3 x + 2) d x = int 1 d x + int (3 x - 2)/(x^2 - 3 x + 2) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c d x = c x + C

Aplicando:

int 1 d x = x + C

Passo 3

Com a segunda vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x^2 - 3 x + 2 = (x - 2) (x - 1)

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(3 x - 2)/(x^2 - 3 x + 2) = (3 x - 2)/((x - 2) (x - 1)) = (A)/(x - 2) + (B)/((x - 1))

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 2) (x - 1) :

3 x - 2 = A (x - 1) + B (x - 2)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

3 x - 2 = A (x - 1) + B (x - 2)

3 x - 2 = A x - A + B x - 2 B

3 x - 2 = x (A + B) + (- A - 2 B)

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 3],[- A - 2 B = - 2]])

Isolando A na primeira:

A = 3 - B

Substituindo A na segunda temos:

- A - 2 B = - 2 -> - (3 - B) - 2 B = - 2 -> - 3 + B - 2 B = - 2 -> - B = 1 -> B = - 1

Temos então que A :

A = 3 - B = 3 - (- 1) = 4

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (3 x - 2)/(x^2 - 3 x + 2) d x = int (4)/(x - 2) + (- 1)/((x - 1)) d x = int (4)/(x - 2) d x + int (- 1)/((x - 1)) d x =

= 4 int (1)/(x - 2) d x - int (1)/((x - 1)) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

4 int (1)/(x - 2) d x = 4 int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

4 int (1)/(u) d u = 4 ln |u| + C

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- int (1)/((x - 1)) d x = - int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- int (1)/(v) d v = - ln |v| + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (x^2)/(x^2 - 3 x + 2) d x = int 1 d x + int (3 x - 2)/(x^2 - 3 x + 2) d x = x + 4 int (1)/(x - 2) d x - int (1)/((x - 1)) d x =

= x + 4 ln |u| - ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^2)/(x^2 - 3 x + 2) d x = x + 4 ln |u| - ln |v| + C = x + 4 ln |x - 2| - ln |x - 1| + C

Resposta

int (x^2)/(x^2 - 3 x + 2) d x = x + 4 ln |x - 2| - ln |x - 1| + C

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v = ( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 )
(d x)/(d t) = k (5 - x) (4 - x) int (d x)/((5 - x) (4 - x)) = int k d t