Enunciado

Calcule a integral.

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t

Passo 1

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

(1)/((t + 4) (t - 1)) = (A)/(t + 4) + (B)/(t - 1)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (t + 4) (t - 1) :

1 = A (t - 1) + B (t + 4)

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (t - 1) + B (t + 4) = A t - A + B t + 4 B = t (A + B) + (- A + 4 B)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de t de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0 -> A = - B],[- A + 4 B = 1]])

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

- A + 4 B = 1 -> - (- B) + 4 B = 1 -> B = (1)/(5)

Assim achamos A :

A = - (1)/(5)

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t = int - ((1)/(5))/(t + 4) + ((1)/(5))/(t - 1) d t = int - (1)/(5 (t + 4)) d t + int (1)/(5 (t - 1)) d t

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um t no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = t + 4

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d t = d t

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (1)/(5 (t + 4)) d t = int - (1)/(5 u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int - (1)/(5 u) d u = - (1)/(5) int (1)/(u) d u = - (1)/(5) ln |u| + C

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um t no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = t - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d t = d t

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(5 (t - 1)) d t = int (1)/(5 u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(5 u) d u = (1)/(5) int (1)/(u) d u = (1)/(5) ln |u| + C

Passo 4

Juntando temos:

int - (1)/(5 (t + 4)) d t + int (1)/(5 (t - 1)) d t = - (1)/(5) ln |u| + (1)/(5) ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t = int - (1)/(5 (t + 4)) d t + int (1)/(5 (t - 1)) d t = (1)/(- 5) ln |t + 4| + (1)/(5) ln |t - 1| + C

Resposta

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t = - (1)/(5) ln |t + 4| + (1)/(5) ln |t - 1| + C

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