Calcule a integral.

∫ 1 t + 4 t - 1 d t

Passo 1

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

1 t + 4 t - 1 = A t + 4 + B t - 1

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores t + 4 t - 1 :

1 = A t - 1 + B t + 4

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A t - 1 + B t + 4 = A t - A + B t + 4 B = t A + B + - A + 4 B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de t de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 → A = - B - A + 4 B = 1

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

- A + 4 B = 1 → - - B + 4 B = 1 → B = 1 5

Assim achamos A :

A = - 1 5

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 1 t + 4 t - 1 d t = ∫ - 1 5 t + 4 + 1 5 t - 1 d t = ∫ - 1 5 t + 4 d t + ∫ 1 5 t - 1 d t

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   t no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = t + 4

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d t = d t

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 1 5 t + 4 d t = ∫ - 1 5 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ - 1 5 u d u = - 1 5 ∫ 1 u d u = - 1 5 ln ⁡ u + C

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   t no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = t - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d t = d t

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 5 t - 1 d t = ∫ 1 5 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 5 u d u = 1 5 ∫ 1 u d u = 1 5 ln ⁡ u + C

Passo 4

Juntando temos:

∫ - 1 5 t + 4 d t + ∫ 1 5 t - 1 d t = - 1 5 ln ⁡ u + 1 5 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 t + 4 t - 1 d t = ∫ - 1 5 t + 4 d t + ∫ 1 5 t - 1 d t = 1 - 5 ln ⁡ t + 4 + 1 5 ln ⁡ t - 1 + C

Resposta

∫ 1 t + 4 t - 1 d t = - 1 5 ln ⁡ t + 4 + 1 5 ln ⁡ t - 1 + C

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