Enunciado

Calcule a integral.

∫ 1 x + a x + b d x

Passo 1

Aqui temos dois possíveis casos, se a ≠ b e a = b , vamos fazer o caso de a ≠ b primeiro:

Temos o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

1 x + a x + b = A x + a + B x + b

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x + a x + b :

1 = A x + b + B x + a

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x + b + B x + a = A x + b A + B x + a B = x A + B + b A + a B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 → A = - B b A + a B = 1

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

b A + a B = 1 → b - B + a B = 1 → B = 1 a - b

Assim achamos A :

A = - 1 a - b

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 1 x + a x + b d x = ∫ - 1 a - b x + a + 1 a - b x + b d x = ∫ 1 a - b - 1 x + a + 1 x + b d x = 1 a - b ∫ - 1 x + a + 1 x + b d x = 1 a - b ∫ - 1 x + a d x + ∫ 1 x + b d x

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + a

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 1 x + a d x = ∫ - 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ - 1 u d u = - ∫ 1 u d u = - ln ⁡ u + C

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + b

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x + b d t = ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 4

Juntando temos:

∫ 1 x + a x + b d x = 1 a - b ∫ - 1 x + a d x + ∫ 1 x + b d x = 1 a - b - ln ⁡ u + ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 x + a x + b d x = 1 a - b - ln ⁡ u + ln ⁡ u + C = 1 a - b - ln ⁡ x + a + ln ⁡ x + b + C

Passo 5

Agora vamos fazer com a = b , a expressão fica:

1 x + a x + a = 1 x + a 2

Temos o Caso II, onde o denominador é um produto de fatores lineares com repetição:

1 x + a 2 = A x + a + B x + a   2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x + a 2 :

1 = A x + a + B

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x + a + B = A x + a A + B = x A + a A + B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A = 0 a A + B = 1 → B = 1

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 1 x + a 2 d x = ∫ 0 x + a + 1 x + a   2 d x = ∫ 1 x + a   2 d x

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + a

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x + a 2 d x = ∫ 1 u 2 d u = ∫ u - 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u - 2 d u = u - 2 + 1 - 2 + 1 + C = u - 1 - 1 + C = - 1 u + C

Passo 7

Temos então que:

∫ 1 x + a 2 d x = ∫ 1 x + a   2 d x = ∫ u - 2 d u = - 1 u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 x + a 2 d x = ∫ 1 x + a   2 d x = ∫ u - 2 d u = - 1 u + C = - 1 x + a + C

Resposta

∫ 1 x + a x + b d x = 1 a - b - ln ⁡ x + a + ln ⁡ x + b + C

∫ 1 x + a 2 d x = - 1 x + a + C

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∫ 3 x 3 + 13 x + 4 x 3 + 4 x d x
v = ( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 )
∫ 1 9 x 4 + x 2 d x
∫ x + 3 4 x 4 + 4 x 3 + x 2 d x
∫ 1 16 x 4 - 1 d x