Enunciado

Calcule a integral.

∫ y y + 2 d y

Passo 1

Vamos lá, para resolver essa integral vamos fazer uma pequena manipulação para termos como aplicar o método de Frações Parciais:

∫ y y + 2 d y = ∫ y + 2 - 2 y + 2 d y = ∫ y + 2 y + 2 - 2 y + 2 d y = ∫ 1 - 2 y + 2 d y = ∫ 1 d y + ∫ - 2 y + 2 d y

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

A primeira é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 d y = y + C

Já com a segunda vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   y no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = y + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d y = d y

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 2 y + 2 d y = ∫ - 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ - 2 u d u = - 2 ∫ 1 u d u = - 2 ln ⁡ u + C

Passo 3

Juntando temos:

∫ y y + 2 d y = ∫ 1 d y + ∫ - 2 y + 2 d y = y - 2 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável y , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ y y + 2 d y = y - 2 ln ⁡ u + C = y - 2 ln ⁡ y + 2 + C

Resposta

∫ y y + 2 d y = y - 2 ln ⁡ y + 2 + C

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