Enunciado

Calcule a integral.

int (1)/((x + a) (x + b)) d x

Passo 1

Aqui temos dois possíveis casos, se a != b e a = b , vamos fazer o caso de a != b primeiro:

Temos o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

(1)/((x + a) (x + b)) = (A)/(x + a) + (B)/(x + b)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x + a) (x + b) :

1 = A (x + b) + B (x + a)

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (x + b) + B (x + a) = A x + b A + B x + a B = x (A + B) + (b A + a B)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0 -> A = - B],[b A + a B = 1]])

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

b A + a B = 1 -> b (- B) + a B = 1 -> B = (1)/(a - b)

Assim achamos A :

A = - (1)/(a - b)

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (1)/((x + a) (x + b)) d x = int (- (1)/(a - b))/(x + a) + ((1)/(a - b))/(x + b) d x = int (1)/(a - b) (- (1)/(x + a) + (1)/(x + b)) d x = (1)/(a - b) int - (1)/(x + a) + (1)/(x + b) d x = (1)/(a - b) (int - (1)/(x + a) d x + int (1)/(x + b) d x)

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + a

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (1)/(x + a) d x = int - (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int - (1)/(u) d u = - int (1)/(u) d u = - ln |u| + C

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + b

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x + b) d t = int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 4

Juntando temos:

int (1)/((x + a) (x + b)) d x = (1)/(a - b) (int - (1)/(x + a) d x + int (1)/(x + b) d x) = (1)/(a - b) (- ln |u| + ln |u|) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (1)/((x + a) (x + b)) d x = (1)/(a - b) (- ln |u| + ln |u|) + C = (1)/(a - b) (- ln |x + a| + ln |x + b|) + C

Passo 5

Agora vamos fazer com a = b , a expressão fica:

(1)/((x + a) (x + a)) = (1)/((x + a)^2)

Temos o Caso II, onde o denominador é um produto de fatores lineares com repetição:

(1)/((x + a)^2) = (A)/(x + a) + (B)/((x + a)^2)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x + a)^2 :

1 = A (x + a) + B

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (x + a) + B = A x + a A + B = x (A) + (a A + B)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A = 0],[a A + B = 1 -> B = 1]])

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (1)/((x + a)^2) d x = int (0)/(x + a) + (1)/((x + a)^2) d x = int (1)/((x + a)^2) d x

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + a

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/((x + a)^2) d x = int (1)/(u^2) d u = int u^(- 2) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^(- 2) d u = (u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (u^(- 1))/(- 1) + C = - (1)/(u) + C

Passo 7

Temos então que:

int (1)/((x + a)^2) d x = int (1)/((x + a)^2) d x = int u^(- 2) d u = - (1)/(u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (1)/((x + a)^2) d x = int (1)/((x + a)^2) d x = int u^(- 2) d u = - (1)/(u) + C = - (1)/(x + a) + C

Resposta

int (1)/((x + a) (x + b)) d x = (1)/(a - b) (- ln |x + a| + ln |x + b|) + C

int (1)/((x + a)^2) d x = - (1)/(x + a) + C

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