Enunciado

Calcule a integral.

∫ 0 1 x 3 - 4 x - 10 x 2 - x - 6 d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir os dois:

Dividindo x 3 - 4 x - 10 por x 2 - x - 6 vamos ter um quociente x + 1 e resto 3 x - 4 , assim:

x 3 - 4 x - 10 x 2 - x - 6 = x + 1 + 3 x - 4 x 2 - x - 6

Agora vamos fatorar o denominador, achando as raízes de x temos:

Usando Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 1 ± - 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 6 2 ∙ 1 = + 1 ± 25 2 = + 1 ± 5 2

Temos então:

x 1 = + 1 + 5 2 = 6 2 = 3

x 2 = + 1 - 5 2 = - 4 2 = - 2

Assim ficamos com:

3 x - 4 x 2 - x - 6 = 3 x - 4 x - 3 x + 2

Passo 2

Temos o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

3 x - 4 x - 3 x + 2 = A x - 3 + B x + 2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 3 x + 2 :

3 x - 4 = A x + 2 + B x - 3

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

3 x - 4 = A x + 2 + B x - 3 = A x + 2 A + B x - 3 B = x A + B + 2 A - 3 B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 3 → A = 3 - B 2 A - 3 B = - 4

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

2 A - 3 B = - 4 → 2 3 - B - 3 B = - 4 → 6 - 2 B - 3 B = - 4 → B = 2

Assim achamos A :

A = 3 - 2 = 1

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x 3 - 4 x - 10 x 2 - x - 6 d x = ∫ x + 1 + 3 x - 4 x 2 - x - 6 = ∫ x + 1 + 1 x - 3 + 2 x + 2 d x = ∫ x d x + ∫ 1 d x ∫ 1 x - 3 d x + ∫ 2 x + 2 d x

Pronto, agora vamos resolver as quatro separadamente.

Passo 3

A primeira é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ x d x = x 1 + 1 1 + 1 + C = x 2 2 + C

A segunda também é simples achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 d x = x + C

Passo 4

Com a terceira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x - 3 d x = ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 5

Com a quarta vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 x + 2 d x = ∫ 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 u d u = 2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u + C

Passo 6

Juntando temos:

∫ x d x + ∫ 1 d x ∫ 1 x - 3 d x + ∫ 2 x + 2 d x = x 2 2 + x + ln ⁡ u + 2 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x d x + ∫ 1 d x ∫ 1 x - 3 d x + ∫ 2 x + 2 d x = x 2 2 + x + ln ⁡ u + 2 ln ⁡ u + C = x 2 2 + x + ln ⁡ x - 3 + 2 ln ⁡ x + 2 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 1 x 3 - 4 x - 10 x 2 - x - 6 d x = x 2 2 + x + ln ⁡ x - 3 + 2 ln ⁡ x + 2 0 1 = 1 2 2 + 1 + ln ⁡ 1 - 3 + 2 ln ⁡ 1 + 2 - 0 2 2 + 0 + ln ⁡ 0 - 3 + 2 ln ⁡ 0 + 2 = 1 2 + 1 + ln ⁡ - 2 + 2 ln ⁡ 3 - + ln ⁡ - 3 + 2 ln ⁡ 2 = 3 2 + ln ⁡ 2 + 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 = 3 2 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3

Resposta

∫ 0 1 x 3 - 4 x - 10 x 2 - x - 6 d x = 3 2 + ln ⁡ 2 + 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 = 3 2 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3

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No exercício abaixo, realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.37 – ∫ y 4 + y 2 - 1 y 3 + y d x
Calcule a integral abaixo:45 – ∫ d x x 3 2 - x
Calcule a integral abaixo:41 – ∫ cos ⁡ yd y s e n 2 y + s e ny - 6
Calcule a integral abaixo:50 – ∫ 1 x 6 ( x 5 + 4 ) d x
Calcule a integral abaixo:47 – ∫ x + 1 x d x Dica: Utilize x + 1 = u 2