Enunciado

Demonstre que

underset(x -> 2)(l i m) (1)/(x) = (1)/(2)

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei a lhe ajudar na resolução desta atividade.

Assim como nos demais problemas desta seção, devemos demonstrar o limite usando a definição formal.

Para isso, para todo número ϵ > 0 , deve existir um delta > 0 tal que

0 < | x - a | < delta => | f ( x ) - L | < ϵ

Neste caso, temos a = 2 , f ( x ) = 1 // x e L = 1 // 2 . Assim, devemos encontrar um delta (em função de ϵ ) tal que

0 < | x - 2 | < delta => |(1)/(x) - (1)/(2)| < ϵ

Então nosso foco deve ser em achar delta que permita essa relação ser válida!!!

Passo 2

Note que

|(1)/(x) - (1)/(2)| = |(x - 2)/(2 x)| = (| x - 2 |)/(2 | x |)

Tomemos por exemplo | x - 2 | < 1 => - 1 < x - 2 < 1 => 1 < x < 3 . Bom, se x > 1 , então

(1)/(|x|) < 1 => (1)/(2 | x |) < (1)/(2)

Então para que o limite exista, uma escolha que se mostrará suficiente é delta = m i n { 1 , 2 ϵ } pois

(| x - 2 |)/(2 | x |) = | x - 2 | * (1)/(2 | x |) < 2 ϵ * (1)/(2) = ϵ

Passo 3

Agora vamos de fato mostrar que essa escolha para delta é suficiente para demonstrar o limite!

Como delta = m i n { 1 , 2 ϵ } , então delta <= 1 e delta <= 2 ϵ . Se delta <= 1 , então | x - 2 | < delta <= 1 . Assim, como | x - 2 | < 1 , segue (como vimos no passo 2) que

(1)/(2 | x |) < (1)/(2)

Além disso, como delta <= 2 ϵ , temos que | x - 2 | < 2 ϵ . Desta forma, temos que

0 < | x - 2 | < delta => |(1)/(x) - (1)/(2)| = (| x - 2 |)/(2 | x |) = | x - 2 | * (1)/(2 | x |) < 2 ϵ * (1)/(2) = ϵ

Provamos assim que o limite existe e vale 1 // 2 . Vale mencionar que outras escolhas para delta também são possíveis para a demonstração.

Resposta

Demonstração.

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