Enunciado

Demonstre, usando a definição 6, que

underset(x -> - 3)(lim) (1)/((x + 3)^4) = oo

Passo 1

O enunciado pede para demostrarmos que o limite é infinto usando a definição 6, assim, devemos mostrar que para todo M > 0 , existe um número delta > 0 tal que se 0 < |x - a| < delta , então f (x) > M .

Bom, sei que parece estranho e soa um pouco “matematiquês” demais essa definição, mas vamos lá, não é tão difícil quanto parece...

O que precisamo fazer é para um número postivo qualquer denotado por M , achar um número delta que será função de M tal que para ponto próximos de x = a por uma distância menor que delta , o valor da função será maior do que M . Assim provamos que f cresce indefinidamente quando x se aproxima de a e assim o limite tende a oo .

Passo 2

Antes de começarmos, vamos fazer uma mudança de variável: t = x + 3 . Quando x -> - 3 , t -> 0 . Assim, queremos calcular

underset(x -> - 3)(lim) (1)/((x + 3)^4) = underset(t -> 0)(lim) (1)/(t^4)

Devemos mostrar então que

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t^4) = oo

Passo 3

Para resolver o limite encontrado no passo 2, devemos achar delta tal que se 0 < |t - 0| < delta , então f ( t ) > M . Assim, devemos achar delta tal que

se 0 < |t| < delta , então 1 // t^4 > M

Por outro lado, 1 // t^4 > M se, e somente se,

t^4 < (1)/(M)

Desta forma,

|t| < (1)/(root(4)(M))

Assim, se tomarmos delta = 1 // root(4)(M) , temos que

se 0 < |t| < delta então 1 // t^4 > M

De fato, se delta = 1 // root(4)(M) , então 0 < |t| < delta implica em 0 < |t| < 1 // root(4)(M) . Desta forma, temos que t^4 < 1 // M e assim 1 // t^4 > M .

Assim provamos que

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t^4) = oo

Desta forma provamos o que foi pedido.

Resposta

Demonstração.

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(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)
(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.18.Se existir lim x → a ⁡ f ( x ) , então também existem lim x → a - ⁡ f ( x ) e lim x → a + ⁡ f ( x ) .
(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)
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