Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → a ⁡ x = a

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar o seguinte limite por meio de conceitos de ϵ e δ vistos nessa seção 2.4:

lim x → a ⁡ x = a

Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso.

Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite.

A definição precisa de limite diz que lim x → a ⁡ f ( x ) = L se

“Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Em outras palavras, o que devemos fazer é que para um dado número ϵ > 0 , vamos achar um outro número δ (que será dado em função de ϵ ) que satisfaça a relação dada.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Neste passo vamos deduzir um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então x - L < ϵ

Como neste caso L = a , devemos achar δ tal que

se 0 < x - a < δ então x - a < ϵ

Assim, devemos achar δ tal que a primeira afirmação implique na segunda.

Note que se tomarmos δ = ϵ a relação exposta acima é satisfeita pois x - a é menor que δ , então | x - a | também será menor que ϵ já que δ = ϵ .

Poderíamos tomar também δ = ϵ / 2 pois se 0 < x - a < ϵ / 2 então x - a < ϵ (se um número é menor que ϵ / 2 ele serpa também menor que ϵ ).

Vemos assim que a escolha não é única e neste caso bastaria escolher qualquer δ ≤ ϵ !!!

Por simplicidade, vamos tomar δ = ϵ .

No próximo passo vamos efetivamente demonstrar que o limite vale a .

Passo 3

Tomando δ = ϵ , temos que se

0 < x - a < δ

Então

x - a < δ = ϵ

Assim, para todo ϵ > 0 , existirá um δ > 0 que satisfaça a definição.

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área líquida sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x ,- 1,1 , confira sua respos
Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 2 x ;0 , 4
Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 5 - x ; 0,5
Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área líquida sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x ,- 1,2 , confira sua respos
Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x 2 ;0,1