Enunciado

Demonstre que

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Passo 1

Falaiii seus lindx’s

Vem comigo que no caminho eu te explicoo, não fique avexadooo...

Simboráááá..

Estamos interessados em estudar o comportamento do limite da função ln ⁡ x quando x se aproxima de 0 pela direita x → 0 + Queremos demonstrar que esse limite é igual a menos infinito.

Para entendermos melhor a demonstração desse limite, vamos revisar alguns conceitos importantes.

A função ln ⁡ x , o logaritmo natural de x ,   é definida para todos os valores de x estritamente maiores que zero.

Ela representa o expoente ao qual a base e (um número irracional aproximadamente igual a 2.71828 ) deve ser elevada para obter x .

Quando x se aproxima de 0 , ln ⁡ x tende a menos infinito. Isso ocorre porque a função ln ⁡ x é decrescente para x > 0 e se aproxima de menos infinito à medida que x se aproxima de 0 + .

Passo 2

O enunciado pede para usarmos a definição de limite para demonstrar que o explode para - ∞ .

A definição precisa de limite diz que lim x → a ⁡ f ( x ) = - ∞ se

“Para todo N < 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x < N

Em outras palavras, o que essa definição diz é que qualquer número negativo N , deve existir um intervalinho próximo x = a tal que o valor da função seja menor que N .

Como N é arbitrário, os valores da função podem ser tomados tão pequenos quanto desejarmos e, assim, ela tenderá a - ∞ .

Assim, o que devemos fazer é achar δ (possivelmente em função de N ) tal que 0 < x - a < δ implica f x < N .

Passo 3

Neste passo vamos conjecturar um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Como o limite desejado é um limite lateral, a definição fica ligeiramente modificada: Seja N < 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se a < x < a + δ então f x < N

Como neste caso a = 0 e f x = ln ⁡ x , devemos achar δ tal que

se 0 < x < δ , então ln ⁡ x < N

Sabemos que x = e ln ⁡ x .

Assim, temos que x = e ln ⁡ x < δ . Como queremos que ln ⁡ x < N , tomamos δ = e N .

Passo 4

Tomando δ = e N , temos que 0 < x = e ln ⁡ x < δ = e N implica ln ⁡ x < N pois e ln ⁡ x < e N implica ln ⁡ x < N já que exponencial é uma função crescente.

Assim o limite é demonstrado pois com essa escolha de δ a primeira afirmação implica a segunda.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.17.Se f a = L , então lim x → a ⁡ f ( x ) = L
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.20.Se lim x → a + ⁡ f ( x ) = + ∞ , então f ( a ) não está definido
(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)
(i) Dê um palpite sobre o limite (se existir) calculando a função nos pontos especificados.(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado.(iii)