Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite

30. lim x →   2 ⁡ ( x 2 + 2 x - 7 ) = 1

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😉

Nesse problema temos que demonstrar que lim x →   2 ⁡ ( x 2 + 2 x - 7 ) = 1 usando as definições ε e δ .

Lembra como fazemos isso? 😉

A definição precisa de limite nos diz que seja uma função f definida em algum intervalo aberto que contenha um número a , temos

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo ε > 0 houver um número δ > 0 de modo que

0 < x - a < δ

Então, temos

f x - L <   ε

Bora começar! 😁

Passo 2

Dado um ϵ > 0 , precisamos de um número δ > 0 que dependa de ϵ tal que:

x - 2 < δ , então x 2 + 2 x - 7 - 1 < ϵ

Simplificando...

x 2 + 2 x - 8 < ϵ

Como as raízes de x 2 + 2 x - 8 são - 4 e 2 . Podemos reescrever assim:

( x - 2 ) ( x + 4 ) < ϵ

Assim,

x - 2 | ⋅ | x + 4 < ϵ     ( i )

Vamos chamar essa equação de i , pois vamos usá-la mais tarde!

Agora chega à parte mais delicada!

Repare que:

x - 2 < 1

Pois estamos com x tendendo a 2 , então nosso valores estão muito próximos de 2 . Assim,

- 1 < x - 2 < 1

Isto é,

1 < x < 3

Somando 4 para aparecer o termo x + 4 :

5 < x + 4 < 7

Então o nosso | x + 4 | fica o seguinte:

0 < x + 4 < 7

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Voltando para nossa equação   ( i ) :

x - 2 | ⋅ | x + 4 < ϵ    

Como 0 < x + 4 < 7 :

x - 2 < ϵ 7

Como queremos achar um valor de δ tal que:

x - 2 < δ

E sabemos que:

x - 2 < ϵ 7

Então, basta pegarmos o δ = ϵ 7 que iremos satisfazer a definição

x - 2 < δ , então x 2 + 2 x - 7 - 1 < ϵ

Assim,

lim x →   2 ⁡ ( x 2 + 2 x - 7 ) = 1

Bacana, né? O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x →   2 ⁡ ( x 2 + 2 x - 7 ) = 1

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