Enunciado

Se f (x , y , z) = x y^2 z^3 + a r c s e n (x sqrt(z)) , determine f_x z y .

Passo 1

A questão fornece uma função f de x , y e z e pede para encontrarmos f_x z y (terceira derivada mista). Você pode tentar resolver o exercício na força bruta seguindo a ordem: primeiro x , depois z e por fim y . Mas tem um jeito mais fácil!

Você pode inverter a ordem das derivadas para deixar as expressões mais simples! Por exemplo, derivando primeiro com relação a y , você elimina o termo com o arco seno que pode ser bem feio. Vamos fazer isso:

f_y = 2 x y z^3

Agora derivamos com relação a x :

f_y x = 2 y z^3

Passo 2

Por fim, derivamos com relação a z :

f_y x z = 6 y z^2

Como podemos trocar a ordem das derivadas:

f_x z y = f_y x z

Logo,

f_x z y = 6 y z^2

Resposta

f_x z y = 6 y z^2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Nos Exercícios 51-54, verifique que w x y = w y x .
A derivada parcial de quinta ordem ∂ 5 ƒ ∂ x 2 ∂ y 3 ƒ é zero para cada uma das funções a seguir. Para mostrar isso o mais rapidamente possível, em relação a qual variável você diferencia primeiro: x
Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.
Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.