Resolva a equação diferencial.

3 - (x^2 + 1)y' = xy

Passo 1

Queremos resolver a equação x 2 + 1 y ' = x y , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente x e do outro termos com somente y podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar y , dessa forma:

x 2 + 1 y ' = x y

Lembre que y ' = d y d x , então:

x 2 + 1 d y d x   = x y

d y y   = x d x x 2 + 1

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de y e do lado direito em função de x , assim:

∫ d y y = ∫ x d x x 2 + 1  

Para calcular a integral ∫ x d x x 2 + 1 podemos usar o método da substituição, chamando u = x 2 + 1   e d u = 2 x d x , então ficamos com: ∫ d y y = ∫ d u 2 u  

ln ⁡ y = ln ⁡ u 2 + C

ln ⁡ y = ln ⁡ | x 2 + 1 | 2 + C (Não esqueça da constante C )

Passo 3

Como x 2 ≥ 0 , x 2 + 1 é sempre positivo, então podemos retirar aquele módulo do lado direito, e usando a propriedade de logaritmo podemos jogar o 1 2 da frente do l n como expoente de x 2 + 1 , assim:

ln ⁡ y = ln ( x 2 + 1 )   ⁡ + C

Passo 4

Agora vamos lembrar de outra propriedade dos logaritmos que nos diz que log b ⁡ b a ⁡ = a , vamos usar isso para trocar a constante C, dessa forma:

ln ⁡ y = ln ( x 2 + 1 ) ⁡ + ln ⁡ e C

E pra provar que a tia Maria do ensino fundamental não mentiu para nós, vamos usar mais uma propriedade dos log’s, lembre que: ln ⁡ m + ln ⁡ n = l n ⁡ ( m n ) :

ln ⁡ y = l n ( e C x 2 + 1 )

| y | = e C x 2 + 1

Como e C ≥ 0 e x 2 + 1 ≥ 0 , podemos retirar o módulo do y , pois esse produto sempre será positivo. Então:

y = e C x 2 + 1

Podemos ainda simplificar a resposta se lembrarmos que e C é uma constante e podemos chamá-la de outra letra qualquer, k por exemplo. Sendo e C = k ficamos com:

y = k x 2 + 1

Resposta

3. y = k x 2 + 1

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