Enunciado

Jogadores de beisebol Um campo de beisebol é um quadrado que mede 90 pés de um lado. Um jogador corre da primeira para a segunda base a uma velocidade de 16 pés/s.

a. Qual a taxa de variação da distância entre o jogador e a terceira base quando ele está a 30 pés da primeira base?

b. Qual a taxa de variação dos ângulos θ 1 e θ 2 (veja a figura) nesse momento?

c. O jogador desliza para a segunda base a uma velocidade de 15 pés/s. Qual a taxa de variação dos ângulos θ 1 e θ 2   quando o jogador toca a base?

Passo 1

Na questão chamarei:

X a distância do jogador para a segunda basey a distância do segunda base a terceira base = 90ft

S a distância do jogador a terceira base

Dados da questão:

d x d t = - 16 f t s

Uma vez que a distância em x diminui a medida que o jogador corre, então a velocidade é negativa.

A questão fala que o jogador está a 30 pés da primeira base, logo ele está a 60 pés da segunda base

Questão pede a variação dos ângulos e de s quando x=60

Logo:

s = 6 0 2 + 9 0 2 = 30 13   f t

Uma dica para fazer essa conta sem calculadora é fazer:

s = 2 × 30 2 + 3 × 30 2 = 4 × 30 2 + 9 × 30 2 =   13 × 30 2 = 30 13

Logo temos as seguintes relações trigonométricas para os ângulos:

s i n θ 1 = 3 13 13     ; cos ⁡ θ 1 = 2 13 13     ; t g θ 1 = 3 2

s i n θ 2 = 2 13 13   ; cos ⁡ θ 2 = 3 13 13   ; t g θ 2 = 2 3

Passo 2

Independente de onde o jogador esteja dentro dessa linha sempre se formará um triângulo retângulo entre o jogador a segunda base e a terceira base. E um desses catetos será sempre 90 ft. Então com essas informações podemos escrever os primeiros dados:

s 2 = x 2 + 90 2

Onde s é a distância do jogador a terceira base e x a distância do jogador a segunda base.

Outra relação importante é em relação aos ângulos   θ 1 e θ 2 e como se trata de um triângulo retângulo podemos tranquilamente usar relações trigonométricas.

cos ⁡ θ 2 = 90 s                     ; s i n θ 1 = 90 s

Passo 3

Derivando no tempo todas as equações temos:

2 s d s d t = 2   x d x d t

- s i n θ 2 d θ 2 d t = - 90 s 2 d s d t

cos ⁡ θ 1 d θ 1 d t   = - 90 s 2 d s d t

Substituindo todos os termos na primeira equação teremos:

30 13 [ f t ] d s d t = 6 0 [ f t ] ×   - 16 f t s

Logo:

d s d t = - 32 13 13 f t s

Com esse resultado conseguimos fazer as outras duas:

- 2 13 13 × d θ 2 d t =   - 90 30 13 2 × - 32 13   13   → d θ 2 d t = - 8 65   r a d s    

Para a variação do θ 1

2 13 13 × d θ 1 d t =   - 90 30 13 2 × - 32 13 13 →   d θ 1 d t = 8 65 r a d s

Passo 4

A situação da letra c nos diz que o jogador está no limite de chegar na segunda base e para isso sua velocidade d x d t = - 15 f t s . Para isso a gente vai utilizar os mesmos modelos utilizados na letra anterior.

- s i n θ 2 d θ 2 d t = - 90 s 2 d s d t

cos ⁡ θ 1 d θ 1 d t   = - 90 s 2 d s d t

Onde chamaremos sin ⁡ θ 2 = c o s ⁡ θ 1   de x s . E d s d t = x s d x d t . O primeiro vem da própria relação trigonométrica e a segunda da primeira equação diferencial do passo 3 mesmo. Dessa forma:

- x s d θ 2 d t =   - 90 s 2 x s d x d t

x s d θ 1 d t = - 90 s 2 x s   d x d t

Logo ficamos com:

d θ 2 d t = 90 s 2 d x d t

d θ 1 d t = - 90 s 2 d x d t

O que prova nossa complementaridade, se um decresce outro decresce e vice-versa.

Porém:

s 2 = x 2 + 90 2

Logo:

d θ 2 d t = 90 x 2 + 90 2 d x d t

Fazendo x tender a zero temos:

d θ 2 d t = 90 90 2 d x d t = 1 90 d x d t

Como d x d t = - 15 f t s

d θ 2 d t = - 15 90 = - 1 6 r a d s                     ; d θ 1 d t = 1 6 r a d s

Resposta

  1. d s d t =   - 32 13   13   f t s
  2. d θ 1 d t = 8 65 r a d s                   ;         d θ 2 d t = - 8 65   r a d / s

c) d θ 2 d t = - 1 6 r a d s           ;           d θ 1 d t = 1 6 r a d s  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derretimento de uma camada de gelo Uma bola de ferro esférica com 8 pol de diâmetro está coberta por uma camada de gelo de espessura uniforme. Se o gelo derrete a uma taxa de 10 pol3/min, a que taxa a
Policia rodoviária Um helicóptero da polícia rodoviária sobrevoa uma autoestrada plana a 3 milhas do solo a uma velocidade constante de 120 milhas/h. O piloto vê um carro se aproximar e o radar assina
Movimento em um plano As coordenadas de uma partícula em um plano xy são funções deriváveis do instante t com dx/dt = - 1 m/s e dy/dt = - 5 m/s. Qual a taxa de variação da distância entre a partícula
Sombra de um prédio Em uma manhã, um prédio com 80 pés de altura projeta uma sombra de 60 pés de comprimento. Nesse instante, o ângulo θ que os raios solares projetam no solo aumenta a uma taxa de 0,2
Sombra em movimento Uma luz está acesa no topo de um poste de 50 pés de altura. Uma bola cai da mesma altura em um ponto situado a 30 pés de distância do poste. (Veja a figura a seguir.) A que velocid