Enunciado

Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as dimensões do maior campo retangular que pode ser fechado usando 240 m de cerca para os outros três lados.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos lá, começando definindo a equação que associa as variáveis do problema. Se temos um campo retangular de comprimento x e largura y , teremos sua área dada por:

A x ,   y = 2 x 2 y = 4 x y

Mas temos duas variáveis nessa equação, então precisamos de outra para simplificar essa equação. O problema diz que usaremos 240 m de cerca para fechar 3 dos lados. Ou seja o perímetro de 3 lados desse retângulo totaliza 240   m :

2 x + y = 240

Agora isolando o y nessa função:

y = 240 - 2 x

Agora podemos jogar isso lá na equação da área e ficar apenas com uma variável na função da área!

A x = 4 x 240 - 2 x

A x = 960 x - 8 x 2

Passo 3

Derivando a equação que temos:

d A d x = 960 - 16 x

Igualando-a a zero:

960 - 16 x = 0

16 x = 96 0

x = 60

Encontramos o nosso valor de x ! Agora vamos ao valor de y .

Passo 4

Substituindo o valor que encontramos para x na 2ª equação:

2 60 + y = 240

Temos que:

y = 120

Essas serão as dimensões do campo retangular!

Resposta

60   m por 12 0   m .

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