Enunciado

Suponha que a diminuição na pressão sanguínea de uma pessoa dependa de uma determinada droga que ela deverá tomar. Assim, se x mg da droga forem tomados, a queda na pressão sanguínea será uma função de x . Seja f ( x ) essa função e:

f x = 1 2 x 2 k - x

Onde x está em 0 ,   k e k é uma constante positiva. Determine o valor de x que cause o maior decréscimo na pressão sanguínea.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema, mas nesse caso ele já nos deu a função então não temos que nos preocupar com isso.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

O problema já nos dá a equação, então a parte mais difícil do problema já foi! Vamos deixar ela dum jeito mais bonitinho pra derivar:

f x = 1 2 k x 2 - 1 2 x 3

Derivando :

d f d x = k x - 3 2 x 2

Passo 3

Igualando a 0 :

k x - 3 2 x 2 = 0

Vamos considerar o x ≠ 0 para poder dividir todo mundo por x :

k - 3 2 x = 0

3 2 x = k

x = 2 3 k

Passo 4

Vamos ver o valor da função para os extremos do intervalo e para o ponto que encontramos. O que nos retornar o maior valor, será o ponto que queremos!

f 0 = 1 2 0 2 k - 0 = 0

f k = 1 2 k 2 k - k = 0

f 2 3 k = 1 2 2 3 k 2 k - 2 3 k = 2 27 k 3

Como a questão diz que k é positivo, então 2 27 k 3 também será e daí temos que o nosso pono de máximo ocorre quando x = 2 3 k .

Resposta

2 3 k mg

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