Enunciado

Calcular o momento de inércia de uma quadrado de lado igual a 4 cm em relação ao eixo que passa por uma diagonal. Considerar a densidade constante.

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Para o calculo do momento de inercia da lâmina, segue que

Se L é uma reta no plano da lâmina D, seja δ ( x , y ) a distancia do ponto (x,y) em D à reta L. Defini-se momento de inercia por

I =   ∬ D δ 2 ( x , y )   f x , y d x d y

Onde f ( x , y )   é a densidade em cada ponto

Passo 2

A figura que representa nossa situação é a seguinte:

Desse modo podemos calcular o momento de inercia em relação ao eixo dos x

I x =   k ∫ 0 2 2 ∫ x - 2 2 - x + 2 2 y 2 d y d x   + ∫ - 2 2 0 ∫ - x - 2 2 x + 2 2 y 2 d y d x   = k 32 3 + 32 3 = 64 k 3

Resposta

64 k 3

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Considere uma lâmina que ocupa, no primeiro quadrante, a região D limitada pela parábola x = 1 - y 2 e pelos eixos coordenados, com função densidade ρ x , y = y . a Determine a massa da lâmina. ( b )
Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 3 .
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