Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.2 - Ex. 21

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Laranjeiras na Califórnia produzem 600 laranjas por ano, se forem plantadas do máximo 20 árvores por acre (4 k m 2 ). Cada árvore plantada a mais causa um decréscimo de 15 laranjas por pé. Quantas árvores devem ser plantadas por acre para se obter o número máximo de laranjas?

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

A quantidade de laranjas aumenta linearmente até 20 árvores por acre. Nesse caso, teríamos a quantidade de laranjas:

L = 600 ∙ 20 = 12000

A partir de 20 árvores a quantidade de laranjas por arvore cai em 15. Daí ficamos com a seguinte equação:

L x = x 600 - 15 x - 20

L x = x 600 + 300 - 15 x

L x = - 15 x 2 + 900 x

Essa é a função que queremos maximizar, agora é só derivar, igualar a 0 e correr pro abraço!

Passo 3

Derivando L x :

d L d x = - 30 x + 900

Igualando a 0 :

- 30 x + 900 = 0

30 x = 900

x = 30

Esse será o valor que nos retornará o máximo de laranjas! Então precisamos de 30 árvores por acre para ter o número máximo de laranjas possível.

Resposta

30

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