Enunciado

A Lei de Coulomb afirma que a força de atração entre duas partículas carregadas é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A figura mostra partículas com carga 1 localizadas nas posições 0 e 2 sobre o eixo das coordenadas, e uma partícula com a carga - 1 em uma posição x entre elas. Segue da Lei de Coulomb que a força resultante agindo sobre a partícula do meio é

F x = - k x 2 + k x - 2 2           0 < x < 2

Em que k é uma constante positiva. Esboce o gráfico da função força resultante. O que o gráfico mostra sobre a força?

Passo 1

Boa galera, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Nesse exercício estamos interessados em esboçar um gráfico de F para ver como a força de atração de duas partículas se comporta em função da distância entre elas.

Para isso, iremos utilizar os conceitos desse capítulo para concluirmos sobre o gráfico a respeito do comportamento da partícula.

Passo 2

Domínio. A função dada F é definida no intervalo dado ( 0,2 ) .

Interceptações. Encontre quaisquer interceptações no eixo x :

F x = 0

- k x 2 + k x - 2 2 = 0

x 2 = x - 2 2

2 x - 4 = 0

x = 2

Não há interceptação no eixo y pois a função não está definida em x = 0 .

Simetria. Avalie f ( - x ) para encontrar qualquer simetria:

F - x = - k - x 2 + k - x - 2 2

= - k x 2 + k x + 2 2

Essa expressão não é igual nem a f ( x ) nem a - f ( x ) , o que significa que o gráfico não terá simetria.

Passo 3

Assíntotas. Como o domínio é 0,2 , pode haver assíntotas verticais em x = 0 e x = 2 . Encontre os limites unilaterais:

lim x → 2 - ⁡ - k x 2 + k x - 2 2 = ∞

E

lim x → 0 + ⁡ - k x 2 + k x - 2 2 = - ∞

Portanto, essas linhas são assíntotas verticais. Não há assíntotas horizontais, pois o domínio é um intervalo limitado.

Intervalos de aumento e diminuição. Para encontrar esses intervalos, precisamos da primeira derivada:

F ' x = - k - 2 x - 3 + k - 2 x - 2 - 3

= 2 k x 3 - 2 k x - 2 3

Nós temos

F ' x > 0

2 k x 3 - 2 k x - 2 3 > 0

2 k x - 2 3 - 2 k x 3 x 3 x - 2 3 > 0

2 k ( - 6 x 2 + 12 x - 8 ) x 3 x - 2 3 > 0

- 3 x 2 + 6 x - 4 < 0   ( 1 )

0 < x < 2     ( 2 )

Observe que (1) é verdadeiro porque x 3 > 0 e x - 2 3 < 0 para todos os x no domínio. A conclusão (2) é verdadeira porque a função quadrática é negativa para todos os números reais. Portanto, a função dada está aumentando em todo o domínio.

Passo 4

Extremos locais. Não há extremos locais, pois a função é estritamente crescente.

Concavidade e pontos de inflexão. A segunda derivada é:

F ' ' x = 2 k ∙ - 3 x - 4 - 2 k ∙ - 3 x - 2 - 4

= - 6 k x 4 + 6 k x - 2 4

Portanto

F ' ' x > 0

- 6 k x 4 + 6 k x - 2 4 > 0

- 6 k x - 2 4 + 6 k x 4 x 4 x - 2 4 > 0

- 6 k x 2 - 4 x + 4 2 + 6 k x 4 > 0

x - 1 x 2 - 2 x + 2 > 0

x > 1

Da mesma forma,

( F ' ' x < 0 ) para (   x   <   1   ) , então (   F   ) é côncava para cima para (   1   <   x   <   2   ) e côncava para baixo para (   0   <   x   <   1   ) . Além disso,

( 1 , F 1 ) é um ponto de inflexão.

O gráfico:

Resposta

Podemos ver pelo gráfico que em x = 1 a força atuante é nula. Quando a distância é maior que 1 , a força aumenta com a distância e quando a força é menor que 1 , a força é negativa, então atua no sentido oposto.

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