Responde Aí

Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.

a t = 10 s e n   t + 3 cos ⁡ t ,             s 0 = 0 ,             s 2 π = 12

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar a posição de uma partícula com base na função aceleração apresentada. Para isso, iremos utilizar o conceito de antiderivada, pois a aceleração de uma partícula é a derivada da sua velocidade, que por sua vez é a derivada da sua posição. Dessa forma, utilizando a antiderivada, podemos encontrar a posição da partícula.

Passo 2

Para encontrar a velocidade v ( t ) da partícula, iremos utilizar a antiderivada na função a ( t ) . Para isso, iremos utilizar as regras de derivação de funções trigonométricas.

a t = 10 s e n   t + 3 cos ⁡ t

v t = - 10 cos ⁡ t + 3 s e n   t + C

Derivando v ( t ) , temos

v ' t = 10 s e n   t + 3 cos ⁡ t = a ( t )

Dessa forma, a função v ( t ) é a antiderivada de a ( t ) . Iremos agora utilizar o mesmo conceito para encontrar a posição

v t = - 10 cos ⁡ t + 3 s e n   t + C

s t = - 10 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t   + C t + D

Derivando s ( t ) , temos

s ' t = - 10 cos ⁡ t + 3 s e n   t + C = v ( t )

Dessa forma, s ( t ) é a antiderivada de v ( t ) .

Passo 3

Podemos agora encontrar o valor das constantes C e D utilizando as condições dadas. Aplicando a condição s 0 = 0 , temos

s t = - 10 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t   + C t + D

s 0 = - 10 sen ⁡ 0 - 3 cos ⁡ 0   + C 0 + D

D = 3

Dessa forma, D = 3 . Aplicando agora a condição s 2 π = 12 , temos

s t = - 10 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t   + C t + 3

s 2 π = - 10 sen ⁡ 2 π - 3 cos ⁡ 2 π   + C 2 π + 3

12 = 0 - 3 + 2 π C + 3

C = 6 π

Dessa forma, C = 6 π .

.

Resposta

s t = - 10 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t   + 6 π t + 3

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