Enunciado

33. Um letreiro com 3 m   de altura está colocado em uma parede, sendo que sua base está 2m acima do nível dos olhos de uma mulher que tenta lê-lo. A que distância da parede ela deve ficar para ter uma melhor visão do letreiro, isto é, para o ângulo sob o qual ela vê o letreiro seja máximo?

Passo 1

Nesta questão ele nos pede para encontrarmos o valor de uma distância para o qual um ângulo de observação seja máximo. Para isso, neste tipo de questão é muito importante fazer um esboço do que está sendo descrito no enunciado. Após encontrar a função que descreve o comportamento do ângulo em função da distância, basta derivarmos e igualar a zero para encontrar seu ponto de máximo.

Passo 2

Um esboço do que está sendo dito no enunciado pode ser representado pela seguinte figura:

Seja x   a distância do observador até a parede. Queremos encontrar o valor de x que irá tornar θ um máximo absoluto. Como x está no intervalor 0 , + ∞   , o valor máximo absoluto de θ será um valor máximo relativo. Podemos ver da figura que β = α + θ , vemos também que:

c o t g   β = x 5   e   c o t g   α = x 2

β = c o t g - 1 x 5   e   α = c o t g - 1 x 2

Substituindo esses valores de α   e   β na relação θ = β - α ,   obtemos :

θ =   c o t g - 1 x 5 - c o t g - 1 x 2

Passo 3

Derivando com relação a x a função que descreve o comportamento do ângulo em função da distância, teremos:

d θ d x = - 1 5 1 + x 5 2 + 1 2 1 + x 2 2

= - 5 5 2 + x 2 + 2 2 2 + x 2

Passo 4

Igualando a zero o resultado da derivada para encontrar os pontos críticos, vem:

d θ d x = 0

2 5 2 + x 2 - 5 2 2 + x 2 = 0

- 3 x 2 + 50 - 20 = 0

x 2 = 10

x = + 10

A solução - 10 foi rejeitada por não está no intervalor 0 , + ∞ . Como o valor máximo da relativo de θ é um valor máximo absoluto, concluímos que o observador deve ficar a aproximadamente 3,16 m da parede.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 43 a 79 , calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.79. f x = x + 1 arg ⁡ sech ⁡ 2 x
Nos exercícios 43 a 79 , calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.75. f t = t g h ( 4 t 2 - 3 ) 2
Nos exercícios 43 a 79 , calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.72. f x = a r c tg ⁡1 1 - x 2
Provar que: y = a r c sech ⁡ x , então y ' = - 1 x 1 - x 2 ,0x1 .
Provar que: y = a r c cosech ⁡ x , então y ' = - 1 x 1 + x 2 ,x ≠ 0