Enunciado

Seja h (x) = {[[(| x |)/(x) , s e x != 0],[0 , x = 0]]}

Mostrar que h ( x ) não tem limite no ponto 0 .

Passo 1

Queremos analisar as extremidades ao redor de 0 e em 0 , logo temos que calcular um limite para x -> 0 e seus limites laterais, x -> 0^+ e x -> 0^- .

Para o limite dado de x -> 0^+ , estamos analisando a função da direita para a esquerda ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x > 0 . Levando essa análise para a função, temos que para números x != 0 , ela é dada por:

h (x) = (| x |)/(x)

Então, para x > 0 => (| x |)/(x) = (x)/(x) = 1 .

Assim, podemos escrever que:

underset(x -> 0^+)(lim) h (x) = underset(x -> 0^+)(lim) (x)/(x) = 1

Passo 2

Para o limite dado de x -> 0^- , estamos analisando a função da esquerda para a direita ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x < 0 . Levando essa análise para a função, temos que para números x != 0 , ela é dada por:

h (x) = (| x |)/(x)

Então, para x < 0 => (|x|)/(x) = (- x)/(x) = - 1 .

Assim, podemos escrever que:

underset(x -> 0^-)(lim) h (x) = underset(x -> 0^-)(lim) (- x)/(x) = - 1

Passo 3

Como underset(x -> 0^-)(lim) h (x) = - 1 e underset(x -> 0^+)(lim) h (x) = 1 , concluímos que o limite de underset(x -> 0)(lim) h (x) não existe.

underset(x -> 0)(lim) h (x) ∄

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

underset(x -> a)(lim) f (x) = L s e e s o m e n t e s e underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L e underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L .

Como os limites laterais são diferentes o limite para x -> 0 não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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