Enunciado

Seja f x =   1 x                     ,             x < 0             x 2             ,     0 ≤ x < 1 2                 ,         x = 1 2 - x ,         x > 1

Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir:

lim x → 1 ⁡ f x

Passo 1

O gráfico da função f ( x ) é dado por:

Passo 2

Queremos analisar as extremidades ao redor de 1 e em 1 , logo temos que calcular um limite para x → 1 e seus limites laterais, x → 1 + e x → 1 - .

Para o limite dado de x → 1 + , estamos analisando a função da direita para a esquerda ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x > 1 . Levando essa análise para a função, temos que para números x > 1 , ela é dada por:

f x = 2 - x

Assim, podemos escrever que:

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ 2 - x = 1

Passo 3

Para o limite dado de x → 1 - , estamos analisando a função da esquerda para a direita ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x < 1 . Levando essa análise para a função, temos que para números x < 1 , ela é dada por:

f x = x 2

Assim, podemos escrever que:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 = 1

Passo 4

Como lim x → 1 - ⁡ f x = 1 e lim x → 1 + ⁡ f x = 1 , concluímos que o limite de lim x → 1 ⁡ f x = 1     .

lim x → 1 ⁡ f x = 1

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

lim x → a ⁡ f x = L     s e   e   s o m e n t e   s e   lim x → a + ⁡ f x = L   e   lim x → a - ⁡ f x = L .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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