Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = e^(3 x) + e^(- 2 x)

Passo 1

A gente precisa lembrar certinho dos passos, em? Se seguir tudo bonitinho todo mundo acha a curva!!

  1. Primeiro a gente procura o domínio da função. Olhando pra ela, vemos que temos x não tem nenhuma restrição, então nosso domínio é D = R .
  2. Agora procuramos intersecções. Não há intercepto em x , porque fazendo y = 0 teremos e^(3 x) = - e^(- 2 x) , e esse valor de x não existe. Fazendo y = f (0) , temos que y = 2 , então só temos o intercepto y .
  3. Testando as três possibilidades de simetria:
  4. f (- x) != f ( x )

    f (- x) != - f (x)

    f ( x + p ) != f ( x )

    Já que nenhuma das três possibilidades acontece, não há simetria.

  5. Como nosso domínio está definido em todos os pontos, não há assíntotas.
  6. Passo 2

    A gente vai entrar agora na parte das derivadas, não pode esquecer em!

  7. Primeiro vamos encontrar os intervalos em que a função cresce ou decresce calculando a derivada primeira:
  8. f^' (x) = 3 e^(3 x) - 2 e^(- 2 x)

    Para f^' (x) > 0 , temos:

    3 e^(3 x) > 2 e^(- 2 x)

    Multiplicando por e^(2 x) :

    e^(5 x) > (2)/(3) harr 5 x > ln (2)/(3) harr x > (1)/(5) ln (2)/(3) tildetilde - 0.081

    Para f^' (x) < 0 , temos:

    x < (1)/(5) ln (2)/(3)

    Assim, temos que f está decrescendo em ( - oo , (1)/(5) ln (2)/(3) ) e crescendo em ( (1)/(5) ln (2)/(3) , oo ) .

  9. Agora é a hora de achar os pontos extremos. Para procurar os pontos mínimos, é importante olhar onde a função decresce, porque quando ela parar de decrescer e mudar o sinal, ali teremos nosso ponto, e isso acontece em (1)/(5) ln (2)/(3) , e f ((1)/(5) ln (2)/(3)) = ((2)/(3))^((3)/(5)) + ((2)/(3))^(- (2)/(5)) tildetilde 1.96 . Não há valor máximo, pois não tem nenhum local em que a função está crescendo e começa a decrescer.
  10. O último passo antes de montar o gráfico é achar as concavidades e pontos de inflexão, que vamos encontrar calculando a segunda derivada:

f^(' ') (x) = 9 e^(3 x) + 4 e^(- 2 x)

Assim, f^(' ') (x) > 0 para todo x , e f é côncava para cima em ( - oo , oo ) . Não há ponto de inflexão.

Passo 2

Esboçando o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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