lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 4 x x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de 1 -   cos ⁡ 4 x .

lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 4 x x ∙ 1 +   cos ⁡ 4 x 1 +   cos ⁡ 4 x

lim x → 0 ⁡ 1 2 -   cos 2 ⁡ 4 x x ( 1 +   cos ⁡ 4 x )

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

sin 2 ⁡ 4 x + cos 2 ⁡ 4 x = 1

sin 2 ⁡ 4 x = 1 - cos 2 ⁡ 4 x

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ 4 x x ( 1 +   cos ⁡ 4 x )

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites.

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x ( 1 +   cos ⁡ 4 x )

Passo 4

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 4 e substituir 4x por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x ∙ 4 4 ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x ( 1 +   cos ⁡ 4 x )

4 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x 4 x ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x ( 1 +   cos ⁡ 4 x )

4 x = u

x → 0 ⇒ u → 0  

4 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x ( 1 +   cos ⁡ 4 x )

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1 .

4 1 ∙ sin ⁡ 4 ∙ 0 ( 1 +   cos ⁡ 4 ∙ 0

4 1 ∙ 0 ( 1 +   1 )

4 ∙ 0

0

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 4 x x = 0

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