Enunciado

Para o limite

lim x → 0 ⁡ cot 2 ⁡ ( x ) = ∞

Ilustre a definição encontrando os valores de δ que correspondam a a   M = 100 e b   M = 1000 .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente ilustrar a definição do limite dado, encontrando os valores de delta ( δ ) que correspondam a M = 100 e M = 1000 .

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 ⁡ cot 2 ⁡ ( x ) = ∞

Uma das definições de limite, nos diz que se temos uma função f definida em um intervalo aberto que contenha o número a , exceto possivelmente no próprio a , então:

lim x → a ⁡ f ⁡ ( x ) = ∞

significa que para todo número positivo M há um número positivo correspondente δ tal que:

f x > M

sempre que

0 < x - a < δ

Ilustrando isso, teríamos algo assim:

Isso diz que o valor de f ( x ) pode ser arbitrariamente grande (maior que qualquer número M dado) tornando-se x suficientemente próximo de a (dentro de uma distância δ , onde δ depende de M , mas com x ≠ a ).

Então, dada qualquer reta horizontal y = M , podemos achar um número positivo δ tal que, se restringirmos x a ficar no intervalo ( a - δ ,   a + δ ) , então a curva y = f ( x ) ficará acima da reta y = M .

No nosso caso, f x = cot 2 ⁡ ( x ) , x está tendendo a zero, então a = 0 e temos M = 100 na letra (a) e M = 1000 na letra (b). Precisamos encontrar o valor de δ em ambos os casos.

Pra isso, precisamos analisar o gráfico da função cotangente de x e encontrar os valores de x próximos de 0 que fazem com que a função esteja acima do valor de M dado em cada caso.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar plotando a função cotangente ao quadrado. Pra isso, a gente precisa ter em mente que essa função é periódica, se repetindo a cada intervalo de π ao longo do eixo x . Além disso, a função tem assíntotas verticais em x = k π (onde k é um número inteiro) e que como ela é definida por:

cot 2 ⁡ x = 1 tan 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x

Então, ela não está definida para x = 0 , porque o seno de zero é zero e a gente não pode ter um denominador nulo na fração, certo?

Sabendo dessas características, nós vamos ter algo mais ou menos assim:

Agora se a gente der um zoom mais próximo de x = 0 , no eixo horizontal, e plotarmos a reta y = 100 , vamos ter algo assim:

Observe que a curva encontra a reta y = 100 em aproximadamente x = - 0,0997 e x = 0,0997 . Isso significa que restringindo x a ficar no intervalo ( 0 - 0 . 0997 ,   0 + 0 . 0997 ) , então a curva y = cot 2 ⁡ ( x ) ficará acima da reta y = 100 .

Portanto, escolhendo δ = 0,0997 de modo que se 0 < x < δ , então, cot 2 ⁡ x > 100 .

Passo 3

Da mesma forma, se traçarmos a reta y = 1000 no gráfico da cotangente ao quadrado, visto no passo anterior, e dermos um zoom próximo a zero, vamos ter:

Observe que agora a curva encontra a reta y = 100 0 em aproximadamente x = - 0 , 0316 e x = 0,0 316 . Isso significa que restringindo x a ficar no intervalo ( 0 - 0 . 0 316 ,   0 + 0 . 0 316 ) , então a curva y = cot 2 ⁡ ( x ) ficará acima da reta y = 100 0 .

Portanto, escolhendo δ = 0,0 316 de modo que se 0 < x < δ , então, cot 2 ⁡ x > 100 0 .

Observe que se o M escolhido for um número muito grande, então o um δ cada vez menor será necessário.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a   δ = 0 , 0997

b   δ = 0,0316

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