Enunciado

Seja f x = x - x

a ) Esboce o gráfico de f .

b ) Se n for um inteiro, calcule

i lim x → n - ⁡ f ( x ) ,     i i lim x → n + ⁡ f ( x ) ⁡

c ) Para quais valores de a existe lim x → a ⁡ f x  

Onde x denota a função maior inteiro.

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a função

f x = x - x

E a partir dessa função nosso objetivo no item a) é esboçar o gráfico de f .

No item b) queremos calcular

lim x → n - ⁡ f x

lim x → n + ⁡ f ( x )

Se n é um número inteiro.

E no item c) queremos saber para quais valores de a o limite lim x → a ⁡ f x existe.

Tem ideia de como fazemos isso?

Primeiramente temos que entender o que é esse x na função...

Essa é a função maior número inteiro, ou seja, esse termo é o maior número inteiro que x assume.

Por exemplo, se x = 5,2 , x = 5 ... se x = 14,9 , x = 14 ... sacou?

Com isso em mente podemos esboçar o gráfico de f por partes em intervalos de números inteiros.

Para o item b) o gráfico do item a) para determinar os limites sabendo que o limite de uma função em um ponto nada mais é que o valor que a função tende a assumir naquele ponto.

Por fim, para o item c) vamos analisar o gráfico e observar os valores de x que possibilita o limite existir.

Parece muito abstrato, não é? Mas relaxa que no caminho eu te explico...

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item a)...

Como x é o maior número inteiro, vamos analisar cada intervalo inteiro de x .

Por exemplo, entre 0 ≤ x < 1 , o maior número inteiro é 0 , concorda?

Agora entre 1 ≤ x < 2 o maior número inteiro é 1 ...

Entre 2 ≤ x < 3 o maior número inteiro é 2 ...

Percebeu a recorrência.

Se formos escrever a função f x em partes, íamos obter

f x = x - 0 ,     0 ≤ x < 1 x - 1 ,     1 ≤ x < 2 x - 2 ,     2 ≤ x < 3 x - 3 ,     3 ≤ x < 4 x - 4 ,     4 ≤ x < 5 x - 5 ,     5 ≤ x < 6 …

Esboçando o gráfico dessa função a partir desses intervalos, vamos chegar em

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora no item b) temos que calcular os limites

lim x → n - ⁡ f x

lim x → n + ⁡ f ( x )

Se n é um número inteiro podemos reescrever nossa função f x para cada um dos casos

Para n - , vemos que x se aproxima de n pela esquerda.

Pelo gráfico, vemos que nesses pontos f x tende a 1 , então podemos dizer que f x = x - n - 1 .

lim x → n - ⁡ f x = l i m x → n -   x - n - 1

lim x → n - ⁡ f x = n - n - 1

lim x → n - ⁡ f ( x ) = 1

Agora se x → n + ( x tende a n pela direita) pelo gráfico observamos que nos números inteiros, a função tende a 0 .

Então podemos dizer que f x = x - n

lim x → n + ⁡ f x = l i m x → n +   x - n

lim x → n + ⁡ f x   = n - n

lim x → n + ⁡ f ( x ) = 0

Bacana, não é?

Passo 4

Por fim, vamos determinar os valores de a , tais que

lim x → a ⁡ f x

Exista...

O limite de uma função não vai existir em dois casos... caso a função tenda a - ∞ ou + ∞ e caso tenha um ponto x 0 na função onde lim x → x 0 - ⁡ f x = a e lim x → x 0 + ⁡ f x = b , ou seja, os limites laterais são diferentes...

Pelo gráfico da função, vamos que f não tende a ou - ∞ em nenhum momento, porém, temos alguns pontos que tem descontinuidade.

Perceba que para x inteiros, o gráfico tem uma descontinuidade

lim x → a - ⁡ f x = 1 ,     lim x → a + ⁡ f x = 0

Portanto para que o limite exista, a não pode ser um número inteiro...

E fim!! O que achou? Reponde Aí!

Resposta

( a )

b   i = 1 ,   i i = 0

( c ) p a r a   v a l o r e s   d e   a   n ã o   i n t e i r o s .

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Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.underset(x - 1 ⁺)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) o n d e f (x) = {[[x + 1 s e x = 1],[2 x s e x1]]) ⁺
A afirmação“ lim x → p ⁺ ⁡ f x = lim x → p ⁻ ⁡ f x ⟹ ⁺ ⁻ f contínua em p ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.underset(x - 1 ⁺)(lim) (|x - 1|)/(x - 1) ⁺
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.underset(x - 2 ⁻)(lim) (x^2 - 2 x + 1)/(x - 1) ⁻
Dada a função f x = x 2 - 3 x + 2 x - 1 , verifique que lim x → 1 ⁺ ⁡ f x = lim x → 1 ⁻ ⁡ f x ⁺ ⁻ . Pergunta-se: f é contínua em 1 ? Por quê?